PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
 ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NAM TRỰC
NĂM HỌC 2015 – 2016
MÔN TOÁN
(Thời gian làm bài 150 phút)
Đề thi gồm 01 trang


Bài 1: (4,0 điểm)
1. Rút gọn biểu thức
với x > 0,

2. Cho
. Tính giá trị của biểu thức A = 7(x2 – 4x)100 + (x2 – 4x)50 + 2016
Bài 2: (4,0 điểm)
Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình 2x + 3 = y2
Giải phương trình

Bài 3: (3,0 điểm)
Giải hệ phương trình

Bài 4: (2,0 điểm)
Cho x, y, z > 0 thoả mãn x + y + z = 2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

Bài 5: (7,0 điểm)
1. Cho đường tròn tâm O và đường thẳng d cắt đường tròn tâm O tại hai điểm B, C (d không đi qua O). Trên tia đối của tia BC lấy điểm A (A nằm ngoài đường tròn tâm O). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K.
a. Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn và AK. AI = AM2
b. Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm ME.
2. Cho hình vuông có độ dài cạnh bằng 1m, trong hình vuông đó đặt 55 đường tròn, mỗi đường tròn có đường kính
m. Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng giao với ít nhất bảy đường tròn.

------Hết------



HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN CHẤM
Bài 1: (4,0 đ)
Câu
Nội dung
Điểm

1.
(2,0đ)







1,0


1,0

2.
(2,0đ)

=>




A = 7(-1)100 +(-1)50 +2016
A = 2024

1,0
1,0


Bài 2: (4,0đ)
Câu
Nội dung
Điểm

1.
(2,0đ)

Với x = 0 thì y = 2 hoặc y = -2
Với x= 1 thì y2 = 5 (loại)
Với x
2 thì VT chia 4 dư 3,
Vì VT là số tự nhiên lẻ => y là số tự nhiên lẻ
=> VP chia 4 dư 1 => vô lí.
Vậy nghiệm tự nhiên của phương trình là (x,y) =(0;2)

0,5
0,5
0,5

0,25
0,25

2.
(2,0đ)
Để phương trình có nghiệm thì :

0,25




0,5

0,5


Dễ dàng chứng minh được

0,5


Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2}
0,25





Bài 3: (3,0đ)
Câu
Nội dung
Điểm

3,0đ





Từ phương trình 2 tìm được x=2 và y=2
Thay vào phương trình 1 tìm được z = -2
1,0

1,0

1,0


Bài 4: (2,0đ)
Câu
Nội dung
Điểm

2,0đ
Vì x, y, z > 0 ta có:
Áp dụng BĐT Côsi đối với 2 số dương
và
ta được:

(1) . Tương tự ta có:


Cộng (1) + (2) + (3) ta được:


Dấu “=” xảy ra

Vậy min P = 1





0,5




0,5


0,5

0,25

02,5




Bài 5: : (7,0đ)
Câu
Nội dung
Điểm

1.
(5,5 đ)












1a
(2,0đ)
I là trung điểm của BC ( dây BC không đi qua O )
=> I thuộc đường tròn đường kính AO (1)

Ta có
( do AM là hai tiếp tuyến (O) )